看上去似乎是必胜的赌博,我们愿意花多少钱来参与呢?

时间: 2016-11-02 07:30    来源: 未知   
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典型的圣彼得堡悖论问题,如果我没记错,这应该是原题吧。
上面几位(截止我答题的时间时)说的都有些笼统。
这个题目的答案在经济学中得到了“解决”(其实没有),门票价格也具体可以算出来,但是要考虑到历史的进程(划掉),咳咳,要有一个度量风险厌恶的因子

先说一句题外话,这个500块钱门票,我认为不是一个合理的估值,因为历史上曾经有人亲手做过这个实验(我和室友们),萌萌的抛了整整两天,最后的结果最多出现过几十块钱,几乎没有出现过500这么大的数字(连续9次掷正面),因为这是一个伯努利试验,分布形状我不用啰嗦了吧。500块钱门票,是百分之99.8的败率,谁玩啊。

回归正题。
表面上看,这个游戏的收益永远为正,数学期望为无穷大所以你对此所付出的价格会无穷大。

但是,要记住,带给你游戏的满足感的是你的效用,远非什么收益,当你的边际效用为零的时候,效用最大化,你为此付出的代价也就可以确定了。

由于我觉(昨)得(天)这(喝)个(多)题(了)目(今)比(天)较(宿)有(醉)趣,我也不管题主是不是要做作业过来了,就和你说说这个东西怎么计算吧。

前面提到了,这道题不能按照收益来算,要按照收益的效用来算。什么意思呢?意思就是,你在这个游戏中,游戏的收益带给你的效用是有限的,当你赢了一定的钱之后,再赢更多的钱对你来说也已经非常没有效用了。

那么,伟大的数学家,大鸟?伯努利(Daniel Bernoulli)为了反对他哥尼古拉伯努利的悖论,在1738年发表的《对机遇性赌博的分析》一文中,使用了边际效用这一理论(原文所说的是“道德期望”,因为当时边际效用这概念还在经济学中没有什么地位),说明投硬币的门票定价,不应该由收益的数学期望决定,而应该由收益的期望而决定。

大鸟采用的是对数效用函数:

E(.)=\sum_{x=1}^{\infty }{2^{-x} } \alpha log{2^x}
其中,\alpha 就是我说的风险厌恶系数。
当然,这个答案是可以被计算出来的,这个期望效用大约是1.39\alpha ,也就是说,一个参加游戏的人,愿意为此付出的价格,应该是他的风险厌恶系数的1.39倍。
这样说是不是有点不靠谱?是的,很多人也觉得不靠谱,但是这个“效用函数”基本理念,取代了过去的数学期望。

那么随后,对于效用曲线的形状,很多人提出了各种类型的模拟。比如克莱默(就是线性代数的那个克莱默)提出的幂函数效用函数,还有什么三角函数模拟之类的(大雾)。随着后面阿莱斯提出新的阿莱斯悖论(强调人们对风险的回避和对确定收益的偏好),也更让人们逐渐开始认识到这个效用函数的重要性,还有风险厌恶因子在大众之间的普遍性。

介绍到这里,我只想阐述明白两个观点:
1.期望效用是决定价格的关键,而非期望收益;
2.效用函数的类型,直接决定最后门票的价格。

这部分后面相对更复杂,什么风险中性,风险偏好之类的,这里不再赘述。但是人们最后还是解决了圣彼得堡悖论中的门票价格的问题。用的是圣彼得堡悖论计算模拟后的效用函数,和大量的统计数据,这些知网上都有,我就不多说了。

一般来说,这个门票价格其实是2-9元,取决于投资人的风险厌恶系数。

过年喝多了,答题思路不太清晰,见谅见谅。

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